已知A[n+1}=An-sinAn,求证A[n+1]<[An]的立方除以6

不只提问者是否学过Taylor expansion, sin (x) ~= x-x^3/6+O(x) at x~=0, O(x) >0. 这样可直接应用。

如果没有，
不管怎么样，让我们先造一个神奇的函数y(x) = sinx - x +x^3/6,
(0<x<1)
y'(x)= cos(x) - 1 + x^2/2
y''(x) = -sin(x) + x .
y'''(x)= -cos(x) +1 >0

=>推出符号
y''(x) 递增 and y''(0) = 0 . => y''(x) > 0 => y'(x) 递增 and y'(0) = 0
=> y(x) >0 => sin(x) > +x - x^3/6 => -sin x < -x + x^3/6 (0<x<1).

数学归纳法得 0<An <1.

所以 A[n+1] = An - sin[An] <An - An + (An)^3/6 = (An)^3/6.

证毕